516.longest-palindromic-subsequence.md

题目地址(516. 最长回文子序列)

https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-subsequence/

题目描述

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。



示例 1:
输入:

"bbbab"
输出:

4
一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2:
输入:

"cbbd"
输出:

2
一个可能的最长回文子序列为 "bb"。



提示：

1 <= s.length <= 1000
s 只包含小写英文字母

前置知识

• 动态规划

公司

• 阿里
• 腾讯
• 百度
• 字节

思路

这是一道最长回文的题目，要我们求出给定字符串的最大回文子序列。

解决这类问题的核心思想就是两个字“延伸”，具体来说

• 如果一个字符串是回文串，那么在它左右分别加上一个相同的字符，那么它一定还是一个回文串，因此回文长度增加2
• 如果一个字符串不是回文串，或者在回文串左右分别加不同的字符，得到的一定不是回文串,因此回文长度不变，我们取[i][j-1]和[i+1][j]的较大值

事实上，上面的分析已经建立了大问题和小问题之间的关联， 基于此，我们可以建立动态规划模型。

我们可以用 dp[i][j] 表示 s 中从 i 到 j（包括 i 和 j）的回文序列长度， 状态转移方程只是将上面的描述转化为代码即可：

if (s[i] === s[j]) {
  dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
  dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
}

base case 就是一个字符（轴对称点是本身）

关键点

• ”延伸“（extend）

代码

代码支持：JS，Python3

JS Code：

/*
 * @lc app=leetcode id=516 lang=javascript
 *
 * [516] Longest Palindromic Subsequence
 */
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var longestPalindromeSubseq = function (s) {
  // bbbab 返回4
  // tag : dp
  const dp = [];

  for (let i = s.length - 1; i >= 0; i--) {
    dp[i] = Array(s.length).fill(0);
    for (let j = i; j < s.length; j++) {
      if (i - j === 0) dp[i][j] = 1;
      else if (s[i] === s[j]) {
        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
      } else {
        dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
      }
    }
  }

  return dp[0][s.length - 1];
};

Python3 Code（记忆化递归）：

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        @cache
        def dp(l,r):
            if l >= r: return int(l == r)
            if s[l] == s[r]: 
                return 2 + dp(l+1,r-1)
            return max(dp(l+1, r), dp(l, r-1))
        return dp(0, len(s)-1)

Python3 Code(普通 dp)

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp = [[0]*n for _ in range(n)]

        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(i, n):
                if i == j:
                    dp[i][j] = 1
                elif s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
        return dp[0][-1]
        

复杂度分析

• 时间复杂度：枚举所有的状态需要 n^2 时间，状态转移需要常数的时间，因此总的时间复杂度为 $O(n^2)$
• 空间复杂度：我们使用二维 dp 存储所有状态，因此空间复杂度为 $O(n^2)$

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