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给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
- 输入: [1,2,3,0,2]
- 输出: 3
- 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II，本题加上了一个冷冻期
在动态规划：122.买卖股票的最佳时机II 中有两个状态，持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
其实本题很多同学搞的比较懵，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。
具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
j的状态为：
- 0：状态一
- 1：状态二
- 2：状态三
- 3：状态四
很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。
从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。
如果大家按照代码随想录顺序来刷的话，会发现 买卖股票最佳时机 1，2，3，4 的题目讲解中
「今天卖出股票」我是没有单独列出一个状态的归类为「不持有股票的状态」，而本题为什么要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢？
因为本题我们有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是 「今天卖出股票」状态，如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是 卖出股票的操作。
如果没有按照 代码随想录 顺序去刷的录友，可能看这里的讲解 会有点困惑，建议把代码随想录本篇之前股票内容的讲解都看一下，领会一下每天 状态的设置。
注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。
- 确定递推公式
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
综上分析，递推代码如下：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
- dp数组如何初始化
这里主要讨论一下第0天如何初始化。
如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。
保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。
如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。
今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。
- 确定遍历顺序
从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
if (n == 0) return 0;
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]));
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
}
return max(dp[n - 1][3], max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然，空间复杂度可以优化，定义一个dp[2][4]大小的数组就可以了，就保存前一天的当前的状态，感兴趣的同学可以自己去写一写，思路是一样的。
这次把冷冻期这道题目，讲的很透彻了，细分为四个状态，其状态转移也十分清晰，建议大家都按照四个状态来分析，如果只划分三个状态确实很容易给自己绕进去。
Java：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length < 2) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[prices.length][2];
// bad case
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
// dp公式
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][0];
}
}
// 一维数组优化
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp=new int[4];
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 使用临时变量来保存dp[0], dp[2]
// 因为马上dp[0]和dp[2]的数据都会变
int temp = dp[0];
int temp1 = dp[2];
dp[0] = Math.max(dp[0], Math.max(dp[3], dp[1]) - prices[i-1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[3]);
dp[2] = temp + prices[i-1];
dp[3] = temp1;
}
return Math.max(dp[3],Math.max(dp[1],dp[2]));
}
}
//另一种解题思路
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length + 1][2];
dp[1][0] = -prices[0];
for (int i = 2; i <= prices.length; i++) {
/*
dp[i][0] 第i天持有股票收益;
dp[i][1] 第i天不持有股票收益;
情况一：第i天是冷静期，不能以dp[i-1][1]购买股票,所以以dp[i - 2][1]买股票，没问题
情况二：第i天不是冷静期，理论上应该以dp[i-1][1]购买股票，但是第i天不是冷静期说明，第i-1天没有卖出股票，
则dp[i-1][1]=dp[i-2][1],所以可以用dp[i-2][1]买股票，没问题
*/
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 2][1] - prices[i - 1]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i - 1]);
}
return dp[prices.length][1];
}
}
Python：
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
n = len(prices)
if n == 0:
return 0
dp = [[0] * 4 for _ in range(n)]
dp[0][0] = -prices[0] #持股票
for i in range(1, n):
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], max(dp[i-1][3], dp[i-1][1]) - prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3])
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]
dp[i][3] = dp[i-1][2]
return max(dp[n-1][3], dp[n-1][1], dp[n-1][2])
Go：
// 最佳买卖股票时机含冷冻期 动态规划
// 时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n)
func maxProfit(prices []int) int {
n := len(prices)
if n < 2 {
return 0
}
dp := make([][]int, n)
status := make([]int, n * 4)
for i := range dp {
dp[i] = status[:4]
status = status[4:]
}
dp[0][0] = -prices[0]
for i := 1; i < n; i++ {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][3] - prices[i]))
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
dp[i][3] = dp[i - 1][2]
}
return max(dp[n - 1][1], max(dp[n - 1][2], dp[n - 1][3]))
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
Javascript:
const maxProfit = (prices) => {
if(prices.length < 2) {
return 0
} else if(prices.length < 3) {
return Math.max(0, prices[1] - prices[0]);
}
let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(4).fill(0));
dp[0][0] = 0 - prices[0];
for(i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]) - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i -1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i-1][2];
}
return Math.max(dp[prices.length - 1][1], dp[prices.length - 1][2], dp[prices.length - 1][3]);
};
// 一维数组空间优化
const maxProfit = (prices) => {
const n = prices.length
const dp = new Array(4).fill(0)
dp[0] = -prices[0]
for (let i = 1; i < n; i ++) {
const temp = dp[0] // 缓存上一次的状态
const temp1 = dp[2]
dp[0] = Math.max(dp[0], Math.max(dp[3] - prices[i], dp[1] - prices[i])) // 持有状态
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[3]) // 今天不操作且不持有股票
dp[2] = temp + prices[i] // 今天卖出股票
dp[3] = temp1 // 冷冻期
}
return Math.max(...dp)
};
TypeScript：
版本一，与本文思路一致
function maxProfit(prices: number[]): number {
/**
dp[i][0]: 持股状态；
dp[i][1]: 无股状态，当天为非冷冻期；
dp[i][2]: 无股状态，当天卖出；
dp[i][3]: 无股状态，当天为冷冻期；
*/
const length: number = prices.length;
const dp: number[][] = new Array(length).fill(0).map(_ => []);
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = dp[0][2] = dp[0][3] = 0;
for (let i = 1; i < length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(
dp[i - 1][0],
Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) - prices[i]
);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
}
const lastEl: number[] = dp[length - 1];
return Math.max(lastEl[1], lastEl[2], lastEl[3]);
};
版本二，状态定义略有不同，可以帮助理解
function maxProfit(prices: number[]): number {
/**
dp[i][0]: 持股状态，当天买入；
dp[i][1]: 持股状态，当天未买入；
dp[i][2]: 无股状态，当天卖出；
dp[i][3]: 无股状态，当天未卖出；
买入有冷冻期限制，其实就是状态[0]只能由前一天的状态[3]得到；
如果卖出有冷冻期限制，其实就是[2]由[1]得到。
*/
const length: number = prices.length;
const dp: number[][] = new Array(length).fill(0).map(_ => []);
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = -Infinity;
dp[0][2] = dp[0][3] = 0;
for (let i = 1; i < length; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][3] - prices[i];
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + prices[i];
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2]);
}
return Math.max(dp[length - 1][2], dp[length - 1][3]);
};
