[A-L] (2023/24) Foglio 13 - Esercizio 3

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

• Ricordiamo la seguente proposizione che ci garantisce l'esistenza dell'applicazione:
  siano $V,W$ spazi vettoriali, ${v_1,...,v_n}\subseteq V$ e ${w_1,...,w_n}\subseteq W$, allora $\exists!\ T:V\rightarrow W\ lineare\ |\ T(v_i)=w_i$

  Mentre il seguente corollario ci mostra che l'applicazione è univocamente determinata dai valori che assume su una base:
  siano $S,T:V\rightarrow W$ lineari, dalla proposizione sappiamo che $S(v_i)=T(v_i)$, se ${v_1,...,v_n}$ è base di $V\Rightarrow S=T$

  Quindi ossevando che i vettori $(1,1,1),(0,1,1),(0,1,-1)$ sono linearmente indipendenti e quindi base di $\mathbb{R}^3$, allora si applicano le proposizioni precedenti.

• Riscriviamo i vettori della base canonica come combinazioni lineare dei vettori $v_1=(1,1,1),v_2=(0,1,1),v_3=(0,1,-1)$:
  $e_1=(1,0,0)=v_1-v_2\Rightarrow F(e_1)=F(v_1-v_2)=(2,3,2)-(1,3,2)=(1,0,0)$
  $e_2=(0,1,0)=\frac{1}{2}v_2+\frac{1}{2}v_3\Rightarrow F(e_2)=F(\frac{1}{2}v_2+\frac{1}{2}v_3)=\frac{1}{2}(1,3,2)+\frac{1}{2}(1,1,-2)=(1,2,0)$
  $e_3=(0,0,1)=\frac{1}{2}v_2-\frac{1}{2}v_3\Rightarrow F(e_3)=F(\frac{1}{2}v_2-\frac{1}{2}v_3)=\frac{1}{2}(1,3,2)-\frac{1}{2}(1,1,-2)=(0,1,2)$

[CarloDaRomadev]

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Soluzione Ufficiale

[CiottoloMaggico]